마틴게일_확률 게임

 

원래 마틴게일은 18세기 프랑스에서 유행했던 일종의 베팅 전략을 가리켰습니다.

이 전략 중 가장 간단한 전략은 동전이 앞면으로 나오면 도박꾼이 판돈을 따고 뒷면이 나오면 잃는 게임을 위해 고안된 것입니다. 이 전략은 도박꾼이 패배할 때마다 베팅을 두 배로 늘려서 첫 번째 승리로 이전의 모든 손실을 회복하고 원래 판돈과 동일한 수익을 얻도록 했습니다. 도박꾼의 재산과 가용 시간이 무한대에 가까워지면 결국 머리가 뒤집힐 확률이 1에 가까워지기 때문에 마틴 게일 베팅 전략은 확실한 것처럼 보입니다. 그러나 베팅이 기하급수적으로 증가하면 결국 한정된 자금으로 인해 사용자가 파산하게 됩니다. 이러한 게임의 궤적을 모델링하기 위해 마틴 게일 과정인 정지된 브라운 운동이 사용될 수 있습니다.

확률 이론에서 마팅게일의 개념은 1934년 폴 레비가 도입했지만, 이름을 붙이지는 않았습니다.

"마팅게일"이라는 용어는 나중에 Ville(1939)에 의해 도입되었으며, 그는 이 정의를 연속 마팅게일로 확장하기도 했습니다. 이 이론의 최초 개발은 대부분 조셉 레오 둡(Joseph Leo Doob)에 의해 이루어졌습니다. 그 연구의 동기 중 하나는 우연의 게임에서 성공적인 베팅 전략이 불가능하다는 것을 보여주기 위해서였습니다.

마팅게일과 정지 시간

주요 기사: 스톱 타임

일련의 무작위 변수 X1, X2, X3, ...에 대한 정지 시간은 각 t에 대해 이벤트 τ = t의 발생 또는 비발생이 X1, X2, X3, ..., Xt의 값에만 의존한다는 속성을 가진 무작위 변수 τ입니다.

이 정의의 직관적인 의미는 특정 시간 t에서 지금까지의 시퀀스를 보고 멈춰야 할 시간인지 알 수 있다는 것입니다. 실생활의 예를 들어 도박꾼이 도박 테이블을 떠나는 시간은 이전 상금의 함수일 수 있지만(예를 들어, 파산했을 때만 떠날 수 있음), 아직 플레이하지 않은 게임의 결과에 따라 가거나 남을지 선택할 수는 없습니다.

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어떤 맥락에서 정지 시간의 개념은 이벤트 τ = t의 발생 또는 비발생이 Xt + 1, Xt + 2, ...와 확률적으로 독립적이기만 하면 되는 것으로 정의되지만, 시간 t까지의 과정의 역사에 의해 완전히 결정되는 것은 아닙니다.

이는 위 단락에 나타난 조건보다 약한 조건이지만 정지 시간이 사용되는 일부 증명에서 충분히 강력한 역할을 합니다.

마팅게일의 기본 속성 중 하나는 다음과 같은 경우입니다.

 

정지된 마팅게일의 개념은 예를 들어 특정 조건에서 정지 시점의 마팅게일의 기대값이 초기값과 같다는 선택적 정지 정리와 같은 일련의 중요한 정리를 이끌어냅니다.